12. Twierdzenie Pitagorasa w zadaniach praktycznych
Droga wzdłuż dwóch prostopadłych krawędzi i droga po przekątnej nie mają tej samej długości. Suma kwadratów dwóch odcinków pozwala obliczyć tę przekątną.
Po tej lekcji: Obliczysz brakujący bok trójkąta prostokątnego oraz zastosujesz twierdzenie Pitagorasa do przekątnej i wysokości w zadaniu praktycznym.
Potrzebne podstawy: Znasz kwadraty i pierwiastki, pole kwadratu oraz kąt prosty.
Najpierw znajdź kąt prosty
Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym a² + b² = c². Litery a i b oznaczają przyprostokątne, czyli boki tworzące kąt prosty. Litera c oznacza przeciwprostokątną: bok naprzeciw kąta prostego i najdłuższy bok trójkąta.
Twierdzenie porównuje pola kwadratów, nie sumę długości boków. 3 + 4 nie daje 5. Diagram pokazuje zależność na przykładzie; nie zastępuje dowodu twierdzenia dla wszystkich trójkątów prostokątnych.
Szukasz najdłuższego boku — dodajesz kwadraty
Przekątna prostokąta 6 cm × 8 cm
- Przekątna d dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. W jednym przyprostokątne mają 6 i 8 cm.
- Przeciwprostokątną jest d, więc d² = 6² + 8².
- d² = 36 + 64 = 100 cm².
- Długość jest dodatnia: d = √100 cm = 10 cm.
- Kontrola: 10 > 8 i 10 < 6 + 8. Przekątna jest dłuższa od każdego boku, ale krótsza od drogi po obu bokach.
Szukasz przyprostokątnej — odejmujesz kwadraty
Drabina 10 m; podstawa 6 m od ściany
- Zakładamy pionową ścianę i poziome podłoże. Tworzą kąt prosty. Prosta drabina stanowi przeciwprostokątną.
- Jeżeli h oznacza wysokość punktu oparcia, to h² + 6² = 10².
- Odejmij 36 od obu stron: h² = 100 − 36 = 64.
- h = 8 m. Kontrola: 8² + 6² = 64 + 36 = 100.
- To model matematyczny, nie instrukcja bezpiecznego ustawiania drabiny.
Wynik nie zawsze jest całkowity
Przekątna kwadratu o boku 5 cm
- d² = 5² + 5² = 50, więc d = √50 cm.
- Wyłącz kwadrat spod pierwiastka: √50 = √(25 · 2) = 5√2.
- Dokładny wynik to 5√2 cm. Jeśli potrzebujesz oszacowania, 7² = 49 < 50 < 64 = 8², więc 7 cm < d < 8 cm.
Nie używaj wzoru bez kąta prostego
Znajomość dwóch boków dowolnego trójkąta nie wystarcza do użycia a² + b² = c². Najpierw wskaż kąt prosty z danych lub własności figury. Przyprostokątną obliczaj z różnicy kwadratów, nigdy z c − b.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Dodaj kwadraty, potem spierwiastkuj.
Rozwiązanie zadania 1
c² = 25 + 144 = 169; c = 13 cm.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Odejmij 5² od 13².
Rozwiązanie zadania 2
a² = 169 − 25 = 144; a = 12 cm.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
Przekątna leży naprzeciw kąta prostego.
Rozwiązanie zadania 3
d² = 81 + 144 = 225, więc d = 15 m.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Uprość √18.
Rozwiązanie zadania 4
d = √(9 + 9) = √18 = 3√2 cm.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Drabina jest najdłuższym bokiem.
Rozwiązanie zadania 5
x² = 25 − 16 = 9, więc x = 3 m.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Sprawdź warunek twierdzenia.
Rozwiązanie zadania 6
Nie. Wynik 10 cm wynikałby z założenia, że 6 i 8 są przyprostokątnymi. Tego nie podano.
Co warto zachować w pamięci?
Zidentyfikuj przeciwprostokątną, zapisz równanie kwadratów, oblicz i dopiero na końcu spierwiastkuj. Długość podaj w jednostce długości.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
