3. Pierwiastki kwadratowe i sześcienne

Kwadrat ma pole 49 cm². Jak długi jest jego bok? Znasz wynik potęgowania i szukasz podstawy. Pierwiastkowanie pozwala zapisać takie pytanie jednym symbolem.

Po tej lekcji: Obliczysz pierwiastki kwadratowe i sześcienne, oszacujesz pierwiastek kwadratowy oraz uprościsz proste wyrażenia z pierwiastkami.

Potrzebne podstawy: Znasz kwadraty, sześciany, mnożenie liczb ujemnych i kolejność działań.

Pierwiastek ma określony znak

Dwie definicje

Dla a ≥ 0 symbol √a oznacza nieujemną liczbę, której kwadrat jest równy a. Symbol ∛a oznacza liczbę, której sześcian jest równy a; a może tu być także ujemne. Na przykład √49 = 7, ∛27 = 3, ∛(−27) = −3.

Chociaż (−7)² = 49, zapis √49 nie oznacza „7 lub −7”. Wybieramy 7. W liczbach rzeczywistych nie obliczamy √(−49), ponieważ kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie jest ujemny.

Sprawdzaj przez potęgowanie

√0,81 oraz ∛(−125)

1. 0,9 · 0,9 = 0,81, a 0,9 jest nieujemne. Zatem √0,81 = 0,9.
2. (−5) · (−5) · (−5) = −125, więc ∛(−125) = −5.

Pierwiastek kwadratu

√(a²) = |a|. Wartość bezwzględna |a| to odległość liczby a od zera: |−6| = 6 i |6| = 6. Dlatego √((−6)²) = √36 = 6, nie −6.

Gdy wynik nie jest całkowity

Między jakimi liczbami leży √20?

1. Znajdź sąsiednie kwadraty: 4² = 16, 5² = 25.
2. Ponieważ 16 < 20 < 25, mamy 4 < √20 < 5.
3. To oszacowanie, nie wynik dokładny. Nie zapisuj √20 = 4 ani √20 = 5.

Wyłączanie czynnika i łączenie podobnych składników

Reguła iloczynu

Dla a ≥ 0 i b ≥ 0 zachodzi √(a · b) = √a · √b. Uzasadnienie: prawa strona jest nieujemna, a jej kwadrat wynosi a · b. Szukaj pod pierwiastkiem czynnika będącego kwadratem.

Uprość √50 + 2√2

1. 50 = 25 · 2, więc √50 = √25 · √2 = 5√2. Zapis 5√2 oznacza 5 · √2.
2. Mamy pięć jednakowych składników √2 i jeszcze dwa takie składniki.
3. 5√2 + 2√2 = 7√2. Tak jak 5a + 2a = 7a, dodajemy współczynniki.

Pomnóż √2 · √8

1. Obie liczby pod pierwiastkami są nieujemne, więc możemy użyć reguły w drugą stronę.
2. √2 · √8 = √16 = 4.

Pierwiastek sumy to nie suma pierwiastków

√(9 + 16) = √25 = 5, natomiast √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Reguła iloczynu nie działa dla dodawania. Nie łącz też 2√2 + 3√3 w 5√5.

Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi

Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Co warto zachować w pamięci?

Pierwiastek sprawdzaj odpowiednią potęgą. Przy uproszczeniach odróżniaj iloczyn od sumy i pilnuj nieujemności pierwiastka kwadratowego.

Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.